Une généalogie générale représente
une population d'hommes et de femmes entre lesquels il peut exister des liens de parenté. Il peut y figurer des individus complètement isolés tel Winfrid d'Herbemont dont on sait seulement qu'il assista au mariage de Valeran de Luxembourg, mais dont on cherche les tenants et les aboutissants.
Dans une généalogie générale réelle la recherche de
"propriétés d'ensemble" et de relations
intéressantes peuvent poser des problèmes difficiles. Ainsi, comment définir une notion de "génération",
pour un enfant dont les
grands parents sont de générations différentes, un oncle ayant épousé une nièce.
Est-il possible de regrouper les gens par famille sachant que si un
personne est apparentée à deux autres, ces dernières
peuvent ne pas l'être entre elles.
Quel est l'implexe généalogique c'est à dire le rapport entre le
nombre des ascendants distincts et leur nombre théorique, un même ascendant pouvant l'être de plusieurs manières ?
On notera l'ensemble des individus correspondants par :
aN(G) = LN
De même on peut définir pour n=0:
L0,
ensemble des individus sans postérité.
L0 n'est pas vide car aucune généalogie descendante n'est infinie. Il existe toujours de individus qui ne sont ascendants de personne.
On remarquera que
L0 et
LN
ont en commun ceux qui ne sont ni ascendants ni descendants : les individus isolés tel Winfrid d'Herbemont.
Chemins d' ascendance
Un chemin d'ascendance de "a" vers un ascendant "b" est une suite de pères ou mères successifs qui permettent d'accéder à b en partant de a.
Ainsi :
- pp(a) désignera le père du père de « a », grand père paternel
- mp(a) désignera la mère du père de « a », grand mère paternelle
- mmp(a) désignera une arrière grand mère , mère de la grand mère paternelle.
Il s'agit là d'une ascendance théorique, en ce sens que deux codes différents peuvent désigner le même individu.
Ainsi si deux individus x et y sont cousins germains du côté du père :
pp(x) = pp(y)
Si les deux parents de «a», x= p(a) et y = m(a), sont cousins germains c'est que :
ppp(a) = ppm(a)
et les deux chemins ppp(a) et ppm(a) aboutissent au même personnage.
On dira aussi que ce personnage, occupant deux places différentes dans l'arbre, est doublement ascendant ou que son poids d'ascendance est 2.
Remarque importante
Les définitions données plus haut comportent en fait, pour faciliter la compréhension, un abus de langage :
p() ou m()
ne sont pas applicables directement aux individus mais aux "parties réduites" p({})
ou p({}) pour pouvoir les utiliser dans une math&eacut;matique rigoureuse
respectant la théorie des ensembles. Dans la suite nous veillerons à ce que cet abus
de langage conserve la véracité".
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Si, sur une même ligne d'ascendance, on trouve plusieurs parentés entre conjoint, leurs effets se multipliront, si bien que dans les grandes généalogies, où les parentés sont fréquentes, certains ancêtres peuvent avoir un poids important.
{G} désigne l'ensemble des éléments de G
Nous nommerons "Cheminements" les chemins dont l'origine est sur L0 et dont l'extrémité est sur
LN.
On désignera par C, l'ensemble des cheminements de G
Bifurcations
L'individu «a » est une bifurcation s'il existe au moins deux chemins distincts
aboutissant en «a » à partir d'un autre point «b ».
«a » occupe donc ici deux positions d'ascendant dans la généalogie
ascendante de «b »
Les deux exemples 2 et 3 présentent une bifurcation.
D'une façon générale si deux parents sont issus d'un même
ascendant et qu'ils ont un enfant, l'ascendant commun est une bifurcation.
Une bifurcation peut être multiple. Ainsi dans la généalogie de la
famille d'Herbemont, Simon d'Herbemont est une bifurcation triple : il en existe des
descendances qui convergent en passant par chacun de ses trois enfants.
Exemples de généalogies simples
Exemple 1
{
G} = {a,b,c,d}
a et b sont les deux parents de 2 enfants c et d.
a = p(c) et b = m(c) ; a=p(d) et b=m(d).
C ={ p(c),m(c),p(d),m(d)} contient 4 cheminements.
L0 = {c,d} ;
LN = {a,b}
Exemple 2
{
G} = {a,b,c,d,e,f}
Six personnes. a est un enfant de cousins germains, b et c.
L0 = {a}
Ce cousinage résulte de ce
que b et c ont un grand père commun f qui est pp(b) et pm(c), p(b) identifié
par d et m(c) par e.
LN = f
Pour que
G soit régulière, il ne suffit pas de
connaître f mais aussi les deux personnages intermédiaires d et e.
G est alors défini par deux cheminements :
C = { , }.
Exemple 3
{
G} = {a,b,c,d,e}
Cet exemple montre un décalage de génération, un oncle ayant épousé sa nièce ont un enfant.
L'oncle est a, et la nièce b. a a pour père un grand père de b :
p(a)= pm(b) et ce personnage sera identifié par c. Pour satisfaire l'axiôme de régularité il faut connaître d mère de b. Nous identifions l'enfant par
e, p(e) est l'oncle a et m(e) la nièce b.
L0 = e ;
LN= c
Il existe donc deux cheminements :
C= {e,p(e),pp(e) et {e,m(e),pm(e), ppm(e)}
Décomposition canonique d'une
généalogie
Toute généalogie régulière peut se décomposer en une
réunion exclusive de N+1 groupes d'ascendants. Cette décomposition permet de
définir un histogramme d' ascendance.
En posant
Ln =
anL0
on a d'abord :
G = L0 +
a(G)
qui exprime l' évidence que
G est composé des
non-ascendants et des ascendants.
On montrera alors par récurrence que :
G =
L0 +
L1 +
L2 +
... +
Ln +
... +
LN
où + représente la réunion disjonctive ( entre parties disjointes)
de parties de
G définies par :
Li = ai
(L0)